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헤라클레스도 못한 그리스 신화 ‘히드라’ 퇴치, 최소원의 법칙으로 가능할까?

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여기 머리 9개 달린 괴물이 있습니다. 뱀인지 공룡인지 용인지 모를 이 녀석(어원은 물뱀과 관련이 있다고 하네요)은 그리스 신화 속에서 헤라클레스가 해결해야 할 과업 중 하나였지만, 헤라클레스는 결국 혼자의 힘으로는 히드라를 퇴치하지 못하고 인정도 받지 못합니다.

‘히드라’라고 불리는 이 녀석은 도마뱀 꼬리처럼 탁월한 재생 능력을 가지고 있어, 더욱 퇴치가 어렵습니다. 머리를 잘못 잘랐다간 아파트처럼 머리 위에 또 머리가 생기기도 하고, 하나를 자르면 2배, 3배로 늘어 더욱 강력해 집니다.

 

PBS Infinite Series  제공

 

미국 수학자이자 유튜브 채널에서 재미있는 수학 콘텐츠를 만들어 대중과 소통하고 있는 켈시 휴스턴-에드워즈(미 코넬대 수학과 박사 과정)는 최근 수학으로 생각하면 누구나 히드라를 무찌를 수 있다고 주장했습니다. 아무리 히드라가 머리를 2배, 3배씩 늘려도 결국 칼을 n번(유한 번, 물론 수가 너무 커서 가늠이 안될지언정 그 수가 유한하니) 휘두르면 끝끝내 죽고 말 것이라는 설명입니다.

 

● 머리 3개 달린 히드라, 몇 번 만에 무찌를 수 있나?

사실 히드라 문제를 풀기 위해선 몇 가지 조건과 제한이 필요합니다. 예제로 풀어볼 문제는 다음 그림과 같이 몸에 직접 닿은 머리는 하나, 머리 위에 머리, 그 머리 위에 또 머리가 붙어 있는 히드라 입니다.

1) 몸에 직접 달린 머리(높이가 1인)를 자르면, 더 이상 머리는 생겨나지 않는다.

2) 머리 위에 달린 머리(높이가 2인)를 자르면, 잘린 머리 아랫 부분이 통째로 2개씩 더 생긴다.

3) 세로로 이어 달린 머리는 처음 높이를 넘지 못한다. (만약 처음 높이가 3인 히드라였다면, 이 히드라는 세로로 머리가 3개 이상은 생기지 않는다.)

이 히드라를 점과 선으로 그려 간단한 그래프로 나타내면 다음과 같습니다. 이 문제를 풀기 위해서는 히드라의 높이를 1로 만들면 됩니다. 그럼 히드라 몸에 직접 달린 머리들만 남아, 결국 히드라를 무찌를 수 있기 때문입니다.

1단계에서 맨 위 머리를 하나 자르면, a부분이 2개 더(a´와 a〃) 늘어납니다.

 

1단계에서 머리 하나를 자르면, 다음 단계에서 a부분이 2개 더 늘어난다.

- (주)동아사이언스(이미지 소스;PBS Infinite Series)  제공

 

2단계에서 또 머리 하나를 자르면, 이번에는 b부분이 2개 더((b´와 b〃) 늘어납니다.

2단계에서 머리 하나를 자르면, b부분이 2개 더 늘어난다.

- (주)동아사이언스(이미지 소스:PBS Infinite Series) 제공

 

3단계에서 또 머리 하나를 자르면 c부분이 2개(그림2) 늘어나고, 이 과정을 반복하면 높이가 2인 머리가 모두 9개(그림3)가 생깁니다.

 

단계를 반복하다보면, 히드라의 세로 높이가 줄어드는 것을 발견할 수 있다.

- (주)동아사이언스(이미지 소스: PBS PBS Infinite Series)  제공

 

이제 그림4에 X표시한 머리를 하나씩 지우다 보면, 결국 높이가 1인 머리가 27개 남게 됩니다.

 

(주)동아사이언스(이미지 소스:GIB) 제공 

 

그럼 이제 27번만 머리를 자르면 이 히드라는 죽게됩니다. 이 히드라는 41번만에 무찔렀습니다.

 

● 머리가 더 늘어도 무찌를 수 있을까?

높이가 4인 히드라만 해도, 그 단계가 만만치 않습니다. 그래도 히드라의 머리가 기하급수적으로 늘어나는 것처럼 보이지만, 그 과정에서 높이가 줄어들어 결국엔 히드라를 무찌를 수 있습니다.

 

 이렇게 만든 게 여러 개 더 늘어나야 높이가 2인 히드라로 정리된다.

- (주)동아사이언스(이미지 소스:PBS Infinite Series)  제공

 

(주)동아사이언스(이미지 소스:PBS Infinite Series) 제공

 

수학자 켈시는 이를 최소원의 법칙으로 설명했습니다. 최소원의 법칙이란 공집합이 아닌 자연수의 집합 N의 임의의 부분집합 S에 대해 S에는 언제나 크기가 가장 작은 원소가 있다는 성질을 말합니다. 히드라 문제의 경우에도 최소원의 법칙에 따라 각 단계에서 존재하는 최소의 원소가 이 수열의 각 항을 대표하고, 각 항을 대표하는 값(수열의 서수, 이 문제에서는 높이마다 가지가 갈라지는 부분)가 결국 0으로 수렴한다는 이야기 입니다.

히드라 문제에서는 가장 바깥에 달린 머리를 0이라 하고, 아래 그림과 같이 w를 이용해 각 높이에서 가지가 갈라지는 부분을 대표하는 서수 값을 구해 수열로 표현했습니다. 앞에서 살펴본 높이가 3인 히드라는 결국 0으로 수렴하는 수열(히드라를 무찌름)로 나타낼 수 있습니다. 물론 히드라의 머리가 많아지면 무찌르는데 굉장히 오랜 시간이 걸리겠지요.

 


끝에 달린 머리를 0이라 하고, 각 높이의 단계에서 그림과 같이 계산을 하면 감소하는 수열의 일반항을 구할 수 있다.

- (주)동아사이언스(이미지 소스:PBS Infinite Series ) 제공 

 

(주)동아사이언스(이미지 소스: PBS Infinite Series) 제공

 

● ‘문제적 남자’에도 등장한 히드라 문제

지난 달 22일, tvN 예능 프로그램 중 하나인 ‘문제적 남자’에도 비슷한 문제가 나왔습니다. 드림웍스 전용덕 감독편에서 드림웍스 입사 문제와 유사한 문제라며 나온 문제입니다. 이 드레곤은 머리와 꼬리가 있네요. 유사 유형의 문제입니다.

 

문제적 남자 화면 캡쳐 제공

 

이 문제는 조건이 다음과 같습니다. 검을 최소로 몇 번 휘둘러야 드레곤을 물리칠 수 있을까요?

1) 머리 1개를 자르면 머리 1개가 새로 생긴다.

2) 머리 2개를 자르면 아무 일도 일어나지 않는다.

3) 꼬리 1개를 자르면 꼬리 2개가 새로 생긴다.

4) 꼬리 2개를 자르면 머리 1개가 새로 생긴다.

 

출연자인 타일러에 따르면, 검 9번 만에 드레곤을 무찌를 수 있습니다.

① 머리 3개, 꼬리 3개인 상황에서 꼬리 3개를 연달아 자르고 >> 검 3번 휘두름

② 머리 3개, 꼬리 6개가 되면, 다시 꼬리를 2개씩 연달아 자르고 >> 검 3번 더 휘두름

③ 머리 6개가 남으면, 머리를 2개씩 연달아 자른다. >> 검 3번 더 휘두름

 

이제 어떤 히드라도 문제없겠지요? 머리가 많아도, 꼬리가 많아도 말이죠.

 

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